Đơn cấuMột đồng cấu nhóm có tính đơn ánh (một đối một); tức là, bảo tồn tính khác biệt.Toàn cấuMột đồng cấu nhóm có tính toàn ánh; tức là, mọi giá trị trong ảnh đều có giá trị tương ứng của chúng.Đẳng cấuĐồng cấu nhóm có tính chất song ánh; tức là, có đồng thời tính đơn ánh và tính toàn ánh. Nghịch đảo của nó cũng là một phép đồng cấu nhóm. Trong trường hợp này, các nhóm G và H được gọi là đồng phân; chúng chỉ khác nhau về ký hiệu của các phần tử của chúng và giống nhau cho tất cả các mục đích thực tiễn.Tự đồng cấuPhép đồng cấu, h: G → G; mà miền và đối miền là một. Cũng được gọi là tự đồng cấu của G.Tự đẳng cấuMột tự đồng cấu có tính song ánh, do đó đồng thời là đẳng cấu. Tập hợp tất cả tự đẳng cấu của một nhóm G, với phép hợp nhau làm toán tử, tự tạo thành một nhóm, nhóm tự đẳng cấu của G. Nó được ký hiệu là Aut(G). Ví dụ, nhóm tự đẳng cấu của (Z,+) chỉ chứa hai phần tử, phép biến đổi đồng nhất và phép nhân với −1; nó là đồng phân của Z/2Z.